【推荐1】根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有______个点.
   

【推荐2】将正偶数排成如图所示的螺旋状，第一个拐弯处的数是4，第二个拐弯处的数是6，第30个拐弯处的数是______.

【推荐3】如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第9行第4个数（从左往右数）为________.

【推荐1】已知数列满足，记为数列的前n项和，，则数列的通项公式为________；若数列为等差数列，数列为等比数列且，则数列的前n项和的取值范围为________．

【推荐2】在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．

【推荐3】已知数列的前项和为，，，且，（），成等差数列，则数列的前项和的表达式为__________．（用含有的式子表示）

【推荐1】某同学在解决一道数学题时发现依此规律可以求得关于的最简表达式为__________．

【推荐2】请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足，那么.
证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以 ，从而得，所以.
根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为__________.（不必证明）

【推荐3】大数学家拉普拉斯曾经这样说过“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比”.事实上数学中的许多重要的定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式：考查三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数与面数的和与棱数相差，即，于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此.利用上述思想，考查下列等式：

则其中第个等式左端和式最后一个数字、右端的结果分别是____________.