25. 数学问题:计算
(其中
,
都是正整数,且
,
).
探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面积为
的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:计算
.
第
次分割,把正方形的面积二等分,其中阴影部分的面积为
.
第
次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为
.
第
次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,
.
第
次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后二等分,所有阴影部分的面积之和
,最后空白部分的面积是
.
第
次分割图可得等式:
.
探究二:计算
.
第
次分割,把正方形的面积三等分,其中阴影部分的面积为
.
第
次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为
.
第
次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,
.
第
次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后三等分,所有阴影部分的面积之和为
,最后空白部分的面积是
.
根据第
次分割图可得等式:
,
两边同除以
,得
.
探究三:计算
.
(仿照上述方法,只画出第
次分割图,在图上标注阴影部分面积,并写出探究过程)
解决问题:根据前面探究结果:
__________.
__________.(只填空,其中
,
都是正整数,且
,
)
拓广应用:计算
.