1 . 如图,在正方形和正方形中,,,将正方形绕点旋转,连接,当最大时,则的长为 _______ .
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2 . 如图,四边形满足于点,于,为的垂心.求证:,,三点共线.
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3 . 在平面直角坐标系中,一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形.若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形,则______ .
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4 . 如图,在中,,E为边上一点,以为直径的半圆O与相切于点D,连接,,.P是边上的动点,当为等腰三角形时,的长为________ .
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5 . 在平面直角坐标系中,抛物线与x轴相交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,连接AC.
(1)求点B,点C的坐标;
(2)如图1,点E(m,0)在线段OB上(点E不与点B重合),点F在y轴负半轴上,OE=OF,连接AF,BF,EF,设△ACF的面积为S1,△BEF的面积为S2,S=S1+S2,当S取最大值时,求m的值;
(3)如图2,抛物线的顶点为D,连接CD,BC,点P在第一象限的抛物线上,PD与BC相交于点Q,是否存在点P,使∠PQC=∠ACD,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求点B,点C的坐标;
(2)如图1,点E(m,0)在线段OB上(点E不与点B重合),点F在y轴负半轴上,OE=OF,连接AF,BF,EF,设△ACF的面积为S1,△BEF的面积为S2,S=S1+S2,当S取最大值时,求m的值;
(3)如图2,抛物线的顶点为D,连接CD,BC,点P在第一象限的抛物线上,PD与BC相交于点Q,是否存在点P,使∠PQC=∠ACD,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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6 . 在平面内,P,Q为线段AB外的两点,若以A,B,P,Q为顶点的四边形为矩形,则称P(或Q)为线段AB的“矩形关联点”.特别地,当该四边形为正方形时,称P(或Q)为线段AB的“正方形关联点”.
(1)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为,点B的坐标为,若有点,,,,则其中:
①不是线段AB的“矩形关联点”的是 ;
②是线段AB的“正方形关联点”的是 ;
(2)如图①,在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为,,连接AB.若F是线段AB的“矩形关联点”,且点F在直线l:上,求点F的坐标;
(3)如图②,在平面直角坐标系xOy中,已知点,,连接AB.点M的坐标为,的半径为1,试判断上是否存在线段AB的“正方形关联点”,且使线段AB恰为正方形的对角线.若存在,请求出点M的横坐标a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为,点B的坐标为,若有点,,,,则其中:
①不是线段AB的“矩形关联点”的是 ;
②是线段AB的“正方形关联点”的是 ;
(2)如图①,在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为,,连接AB.若F是线段AB的“矩形关联点”,且点F在直线l:上,求点F的坐标;
(3)如图②,在平面直角坐标系xOy中,已知点,,连接AB.点M的坐标为,的半径为1,试判断上是否存在线段AB的“正方形关联点”,且使线段AB恰为正方形的对角线.若存在,请求出点M的横坐标a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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7 . 在矩形ABCD中,,点E是射线BC上的动点,将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG,连接CF.
(1)如图1,当时,求线段CG的长;
(2)如图2,当点E是线段BC的中点时,求∠DCF的度数;
(3)如图3,连接DF,当点E在运动过程中,求的最小值.
(1)如图1,当时,求线段CG的长;
(2)如图2,当点E是线段BC的中点时,求∠DCF的度数;
(3)如图3,连接DF,当点E在运动过程中,求的最小值.
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8 . 在平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作.
已知点,,.
(1)求(点O,);
(2)记函数(,)的图象为,若,求的取值范围;
(3)的圆心,半径为1.若(,),请直接写出的值.
已知点,,.
(1)求(点O,);
(2)记函数(,)的图象为,若,求的取值范围;
(3)的圆心,半径为1.若(,),请直接写出的值.
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9 . 如图,将菱形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,点C,D的对应点分别是,且,折痕AP交BC于点P.若,,则PC的长等于______ .
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10 . 抛物线交轴于,两点,与轴交于点,连接,.为线段上的一个动点,过点作轴,交抛物线于点,交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点的坐标为,请用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时,有最大值,最大值是多少?
(3)试探究点在运动过程中,是否存在这样的点,使得以为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)在(2)的条件下,直线上有一动点,连接,将线段绕点逆时针旋转度,使点的对应点恰好落在该抛物线上,直接写出点的坐标.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点的坐标为,请用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时,有最大值,最大值是多少?
(3)试探究点在运动过程中,是否存在这样的点,使得以为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)在(2)的条件下,直线上有一动点,连接,将线段绕点逆时针旋转度,使点的对应点恰好落在该抛物线上,直接写出点的坐标.
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