1 . 已知数列满足：，且.
(1)证明：对于任意，数列中有无限项满足；
(2)已知，求证：.

2 . （1）已知m是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件．
（2）设．证明：若是奇数，则n也是奇数．

3 . 定义函数的所有零点构成严格单调增数列.
（1）求证:;
（2）若对任意的存在负数使得方程有两个不等实解与,并且满足,试证明:.

4 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，e为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：当时，；
(2)证明：对任意的正整数；
(3)证明：e是无理数．

5 . 设，求证：．
（推论：设，则.）

6 . 函数，，其中为常数，当时，证明：．

7 . 设是正实数，求证：．

8 . 已知，且．求证：．

9 . 设，且，求证：．

10 . 求证：．