2006高三·江苏·竞赛
1 . 设 a 、b 、c 为正数 ， 记 d 为（a -b）2、（b -c）2、（c -a）2 中的最小数.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
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2 . 对任意满足
的非负实数组
，记
为
的元素个数，求证：
，并给出取等的充要条件.
的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.
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2023-12-15更新
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156次组卷
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2卷引用：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题
3 . 已知数列
满足
，
，且
，
.
(1)证明：
；
(2)证明：
.
满足，，且，.(1)证明：
；(2)证明：
.
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4 . 正数
，
满足
，求证：
．
，满足，求证：．
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5 . 已知
，求证：
．
，求证：．
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6 . 已知
.求证：
.
.求证：.
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7 . 已知正实数a、b、c满足
．求证：
．
．求证：．
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8 . 若数列
，求证：存在无穷多个正整数n，使得
，并确定是否存在无穷多个正整数n使得
？（这里
表示不超过x的最大整数）
，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）
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9 . 设正实数
满足对任意
有
，求证：
!．
满足对任意有，求证：!．
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10 . 数列定义为
，
．证明，存在正整数
，使得
．
定义为，．证明，存在正整数，使得．
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