1 . 设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S₁为包含集合最多的反链，S₂是任意反链.证明：存在S₂到S₁的单射f，满足或成立.

2 . 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.
（1）求证：；
（2）若，且，求实数的取值范围.

3 . 证明对所有的正整数，存在一个集合，满足如下条件：
（1）由都小于的个正整数组成；
（2）对的任意两个不同的非空子集、，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和．

4 . 已知、、，集合，且为的个不同的元子集.证明：存在集合、满足下列条件：
（1），；
（2）在，这个集合中至多有个为空集.

5 . 对集合（），若对于任何的不能整除的任何一个非空子集的元素和，则称是“好集”（表示集合除去元素后的集合）．
（1）若是好集，求的最小值；
（2）证明：集合不是好集，其中，．

6 . 46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二题的选手59人，做对第一、三题的选手29人，做对第一、四题的选手15人，四个题全做对的选手3人.存在这样的选手，他做对了前三个题，但没有做对第四题.求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有4个人，他们恰好只做对了第一题.

7 . 设用［x］表示不超过实数x的最大整数.证明:存在，满足，使得对任意，均有.

8 . 有理数集的子集有如下性质：
（1）如果，，则，；
（2）对于每个有理数，，，有且仅有一条成立.
试证明：是由全体正有理数组成.

9 . 是有限集，满足， .证明：.

10 . 设集合，证明：对任意，都存在和正整数使得，其中，表示不超过实数的最大整数.