1 . 设
为正整数，集合
对于
，设集合
.
(1)若
，写出集合
；
(2)若，且
满足
令 
，求证： 
；
(3)若，且 
，求证： 
.
为正整数，集合对于，设集合.(1)若
，写出集合；(2)若
，且满足令 ，求证： ；(3)若
，且 ，求证： .
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解题方法
2 . 对集合
，定义其特征函数
，考虑集合
和正实数
，定义
为
和式函数.设
，则为闭区间列；如果集合对任意
，有
，则称
是无交集合列，设集合
.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，
是定义在
上的函数.已知存在唯一的正整数
，各项不同的非零实数
，和无交集合列
使得
，并且
，称
为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设
，证明：
；
（ii）给定正整数，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设
为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.（i）设
，证明：；（ii）给定正整数
，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
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3 . （1）已知集合
，任意从中取出k个四元子集
，均满足
的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）
（2）已知集合
，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.
，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）（2）已知集合
，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.
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名校
解题方法
4 . 设集合
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①
，且T中至少有两个元素；②对于任意
，当
，都有
；③对于任意
，若
，则
；则称集合
为集合
的“耦合集”.
（1）若集合
，求集合
的“耦合集”
；
（2）若集合
存在“耦合集”
，集合
，且
，求证：对于任意
，有
；
（3）设集合
，且
，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.（1）若集合
，求集合的“耦合集”；（2）若集合
存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；（3）设集合
，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
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2021-01-27更新
|
1308次组卷
|
5卷引用：北京市顺义区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
5 . 已知非空正实数有限集合A，定义集合
，证明：
．
，证明：．
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6 . 设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=
.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，
均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足
或
成立.
.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足或成立.
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7 . 证明对所有的正整数
，存在一个集合，满足如下条件：
（1）由都小于
的个正整数组成；
（2）对的任意两个不同的非空子集
、
，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和．
，存在一个集合，满足如下条件：（1）
由都小于的个正整数组成；（2）对
的任意两个不同的非空子集、，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和．
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8 . 46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二题的选手59人，做对第一、三题的选手29人，做对第一、四题的选手15人，四个题全做对的选手3人.存在这样的选手，他做对了前三个题，但没有做对第四题.求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有4个人，他们恰好只做对了第一题.
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9 . 已知
、、
，集合
，且
为
的
个不同的元子集.证明：存在集合、满足下列条件：
（1）
，
；
（2）在
，
这
个集合中至多有
个为空集.
、、，集合，且为的个不同的元子集.证明：存在集合、满足下列条件：（1）
，；（2）在
，这个集合中至多有个为空集.
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10 . 对集合（
），若对于任何的
不能整除
的任何一个非空子集的元素和，则称是“好集”（表示集合除去元素
后的集合）．
（1）若
是好集，求的最小值
；
（2）证明：集合
不是好集，其中，
．
（），若对于任何的不能整除的任何一个非空子集的元素和，则称是“好集”（表示集合除去元素后的集合）．（1）若
是好集，求的最小值；（2）证明：集合
不是好集，其中，．
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