1 . 对于区间与函数,定义区间Ⅰ的长度为.已知二次函数对于任何长度为1的区间Ⅰ,均有,求证:对于任何长度为2的区间J,均有.
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2 . 设为椭圆: 的左准线与对称轴的交点,椭圆的左焦点为,过任作一斜率不为0的直线与椭圆交于点、,关于轴的对称点为.
(1)求证:;
(2)求的取值范围.
(1)求证:;
(2)求的取值范围.
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2007高三·陕西·竞赛
3 . 已知.求证:
(1);
(2).
(1);
(2).
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2002高三·湖南·竞赛
名校
4 . 设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β(α < β).
(1))若 x1、x2 为区间[ α, β] 上的两个不同的点,求证:;
(2)设,在区间[ α, β] 上的最大值和最小值分别为和, .求的最小值.
(1))若 x1、x2 为区间[ α, β] 上的两个不同的点,求证:;
(2)设,在区间[ α, β] 上的最大值和最小值分别为和, .求的最小值.
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2018-12-15更新
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367次组卷
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5卷引用:2002年湖南省高中数学奥林匹克
5 . 设双曲线的两支为(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.
(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在上,Q、R在上.求顶点Q、R的坐标.
(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在上,Q、R在上.求顶点Q、R的坐标.
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6 . 设四点均在双曲线的右支上.
(1)若(实数),证明:(O是坐标原点);
(2)若,P是线段AB的中点,过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线,垂足为M、N,求四边形的面积的最大值.
(1)若(实数),证明:(O是坐标原点);
(2)若,P是线段AB的中点,过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线,垂足为M、N,求四边形的面积的最大值.
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7 . 给定正整数,且,, ,,证明:.
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2011高三·天津·竞赛
8 . 设 、、、、、为实数,且 对任意的实数 成立.证明:
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2011高三·陕西·竞赛
9 . 设为直线上的动点,过作抛物线的切线,切点分别为、.
(1)证明:直线过定点;
(2)求面积的最小值,以及取得最小值时点的坐标.
(1)证明:直线过定点;
(2)求面积的最小值,以及取得最小值时点的坐标.
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