1 . 证明：．

2 . 证明：，

3 . 证明：．

4 . 求证：，表示的整数部分．

6 . 证明：．

7 . 证明：．

8 . 设集合.若X是的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”.(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集.
（1）求证：的奇子集与偶子集个数相等.
（2）求证：当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
（3）当时，求的所有奇子集的容量之和.

9 . 20个巫师孤岛聚会.在此期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师.证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其余九个巫师的诅咒.

10 . 有2008名学生参加大型公益活动．若有两名学生互相认识，则将这两名学生看作一个合作小组．
（1）求合作小组数目的最小值，使得无论学生认识的情况如何，都存在三名学生，他们两两都在一个合作小组；
（2）若合作小组数目为，证明：存在四名学生、、、，使得和、和、和、和分别为一个合作小组．