1 . 设集合
.若X是
的子集,把X中的所有数的和称为X的“容量”.(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为
的奇(偶)子集.
(1)求证:
的奇子集与偶子集个数相等.
(2)求证:当
时,
的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
(3)当
时,求
的所有奇子集的容量之和.
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(1)求证:
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(2)求证:当
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(3)当
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2 . 有2008名学生参加大型公益活动.若有两名学生互相认识,则将这两名学生看作一个合作小组.
(1)求合作小组数目的最小值
,使得无论学生认识的情况如何,都存在三名学生,他们两两都在一个合作小组;
(2)若合作小组数目为
,证明:存在四名学生
、
、
、
,使得
和
、
和
、
和
、
和
分别为一个合作小组.
(1)求合作小组数目的最小值
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(2)若合作小组数目为
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3 . 20个巫师孤岛聚会.在此期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师.证明:其中必存在某个巫师,他至少受到过其余九个巫师的诅咒.
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4 . 设整数
.证明:
.
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5 . 已知
为正整数.证明:
为奇数.
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