1 . 已知
，内心为
，外接圆为
，点
关于的对径为
，在
的延长线上取点
，
的延长线上取点
，使得
，
为的半周长，证明：
.
，内心为，外接圆为，点关于的对径为，在的延长线上取点，的延长线上取点，使得，为的半周长，证明：.
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2 . 在锐角
中，
为外接圆半径．（1）求证：
；（2）当去掉锐角三角形的条件时，讨论命题的真假．
中，为外接圆半径．（1）求证：；（2）当去掉锐角三角形的条件时，讨论命题的真假．
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3 . 设凸六边形
的六个内角均为钝角，且
，
,
.以三边
为边向内各作一个矩形，使它们的顶点两两重合，构成
（如图）求证：矩形
的面积之比等于
.
的六个内角均为钝角，且，,.以三边为边向内各作一个矩形，使它们的顶点两两重合，构成（如图）求证：矩形的面积之比等于.
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4 . 如图所示，
、
是的切线，、是切点，
是劣弧
上异于、的点，过点
平行于的直线分别交
、
于点
、
.若
，求证：
.
、是的切线，、是切点，是劣弧上异于、的点，过点平行于的直线分别交、于点、.若，求证：.
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5 . 如图，半径为
、
的两圆交于、两点，是半径为的圆上任意一点（不在另一圆内），
、
与另一圆分别交于点、.
（1）用、及
表示
的长度；
（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为
.
、的两圆交于、两点，是半径为的圆上任意一点（不在另一圆内），、与另一圆分别交于点、.（1）用
、及表示的长度；（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为
.
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6 . 
为的垂心，
，
，
分别是
，
，的中点，一个以为圆心的
交直线
，
，
于
，
，
，
，
，
.求证：
.
为的垂心，，，分别是，，的中点，一个以为圆心的交直线，，于，，，，，.求证：.
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