1 . 数列
满足：
是大于1的正整数，试证明：在数列
中存在相邻的两项，它们除以
余数相同.
满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同.
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2 . 求证：
为任意整数
．
为任意整数．
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3 . 已知素数
证明：
为整数，其中
．
证明：为整数，其中．
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4 . 设
是正整数，
(1)证明：
(2)证明：
(3)证明：
是正整数，(1)证明：
(2)证明：
(3)证明：
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5 . 已知素数
，
满足
.证明：存在正整数
使得
的十进制表示的各位数字之和是2或3.
，满足.证明：存在正整数使得的十进制表示的各位数字之和是2或3.
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6 . 对每个正整数n，定义
为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若
且
，则
是合数.
为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若且，则是合数.
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7 . 正整数
，且的素因子个数不超过2，对于任意整数
，若
，则有
成立，求证：是质数.
，且的素因子个数不超过2，对于任意整数，若，则有成立，求证：是质数.
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8 . 设
证明：对整数
，
，必有一个模4余1的素因子．
证明：对整数，，必有一个模4余1的素因子．
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9 . 求所有的正整数n，使得方程
有正整数解.
有正整数解.
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10 . 设
表示不超过n且与n互素的正整数的个数，g(n)满足对任意
，其中求和符号
表示d取遍n的所有正因子，则
________ .
表示不超过n且与n互素的正整数的个数，g(n)满足对任意，其中求和符号表示d取遍n的所有正因子，则
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