1 . 已知抛物线
与双曲线
（
，
）有公共的焦点F，且
．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).
(1)求E的渐近线方程；
(2)若实数
满足
，求的取值范围．
与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧). (1)求E的渐近线方程；
(2)若实数
满足，求的取值范围．
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2 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中
是反射镜面也是过点
处的切线）．已知双曲线
（，）的左右焦点分别为
，
，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点
．
当
，
，且直线
的倾斜角为
时，求反射光线
所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点
处，且
三点共线，经双曲线反射后过点
，
，
，延长
，
分别交两条渐近线于
，点
是
的中点，求证：
为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点
，当四边形
的面积为8时，求
的方程．
是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．
当
，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；(2)从
处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．(3)在（2）的条件下，延长
交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
3 . 设双曲线
的左、右焦点分别为
，过的直线交双曲线于
两点，且
．
(1)求双曲线
的渐近线方程；(2)当
时，在
轴上求一点
，使得
为定值．
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2023·全国·模拟预测
4 . 已知双曲线：
的离心率为
，左､右焦点分别为，，两条渐近线为
，
，
垂直于点，直线交于点，
为坐标原点.
(1)求
的值.
(2)若双曲线的实轴长为，过点作斜率为
的直线
（与轴不重合）交于，两点，是的右顶点，设直线，
的斜率分别为
，
，判断
是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
：的离心率为，左､右焦点分别为，，两条渐近线为，，垂直于点，直线交于点，为坐标原点.(1)求
的值.(2)若双曲线
的实轴长为，过点作斜率为的直线（与轴不重合）交于，两点，是的右顶点，设直线，的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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解题方法
5 . 已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为
，过点的动直线与双曲线交于点、．设
．的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时
的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设
为
，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且
，求证：
是等腰三角形．且
边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
的渐近线方程；(2)若点
、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.(3)若点
在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
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2023-04-13更新
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736次组卷
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5卷引用：上海市黄浦区2023届高三二模数学试题
上海市黄浦区2023届高三二模数学试题（已下线）专题08 平面解析几何-学易金卷（已下线）重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）专题09 双曲线（四大核心考点六种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）上海市桃浦中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷
名校
解题方法
6 . 已知双曲线的离心率为
.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)动直线分别交双曲线的渐近线于，两点（，分别在第一、四象限），且
（为坐标原点）的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.
的离心率为.(1)求双曲线
的渐近线方程；(2)动直线
分别交双曲线的渐近线于，两点（，分别在第一、四象限），且（为坐标原点）的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.
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2023-03-30更新
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678次组卷
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3卷引用：2023届高三第七次百校大联考数学试题(新高考)
解题方法
7 . 已知双曲线
上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为
.
（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆
上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于
两点，且
，是否存在
使得该椭圆的离心率为
，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.
上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为.（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆
上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于两点，且，是否存在使得该椭圆的离心率为，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.
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