名校
解题方法
1 . 给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线
有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线
上一点
处的切线方程为
.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线
上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线
，
，直线，交于点C，点A，B分别在线段
，
的延长线上，且满足
，其中
.
(1)若点E，F的纵坐标分别为
，
，用，和p表示点C的坐标.
(2)证明：直线
与抛物线相切；
(3)设直线与抛物线相切于点G，求
.
有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中.(1)若点E，F的纵坐标分别为
，，用，和p表示点C的坐标.(2)证明：直线
与抛物线相切；(3)设直线
与抛物线相切于点G，求.
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2022-01-16更新
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767次组卷
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4卷引用：高考新题型-圆锥曲线
高考新题型-圆锥曲线上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）压轴题圆锥曲线新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）
2 . 等轴双曲线是离心率为
的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．
（1）在等轴双曲线
上有三点
，
，
，其横坐标依次是
，
，
．设
，
，
分别为
，
，的中点，试求
的外接圆圆心的横坐标．
（2）双曲线
的渐近线为和，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于
，
，
，过，，分别作直线、直线、直线的垂线
，
，
．
（i）当为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．
（ii）当不为等轴双曲线时，记
，
，
分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义
，
，
．证明：
．
的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．（1）在等轴双曲线
上有三点，，，其横坐标依次是，，．设，，分别为，，的中点，试求的外接圆圆心的横坐标．（2）双曲线
的渐近线为和，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于，，，过，，分别作直线、直线、直线的垂线，，．（i）当
为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．（ii）当
不为等轴双曲线时，记，，分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义，，．证明：．
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2021-09-03更新
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1083次组卷
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4卷引用：福建名校联盟优质校2022届高三第一次调研考试数学试题
3 . 定义：已知椭圆
，把圆
称为该椭圆的协同圆.设椭圆
的协同圆为圆
(为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆的方程；
（2）设直线
是圆的任意一条切线，且交椭圆于
两点，求
的值；
（3）设
是椭圆上的两个动点，且
，过点作
，交直线
于
点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆
的方程；（2）设直线
是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设
是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
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名校
解题方法
4 . 已知椭圆
的右焦点为F(1，0)，且点
在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆
上异于其顶点的任意一点Q作圆
的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：
为定值；
（3）若
是椭圆
上不同的两点，
轴，圆E过且椭圆
上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.
的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆
上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；（3）若
是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.
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2020-11-15更新
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2288次组卷
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5卷引用：辽宁省部分中学2021-2022学年高三下学期期末数学试题
辽宁省部分中学2021-2022学年高三下学期期末数学试题（已下线）专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 微点1 圆锥曲线中的存在性问题上海市南洋模范中学2021届高三上学期期中数学试题（已下线）圆锥曲线新定义上海市宜川中学2022-2023学年高二下学期数学期末模拟测试卷2
名校
5 . （1）设椭圆
与双曲线
有相同的焦点、
，
是椭圆
与双曲线的公共点，且△
的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；
（2）如图，已知“盾圆”的方程为
，设“盾圆”上的任意一点到
的距离为
，到直线
的距离为
，求证：
为定值；
（3）由抛物线弧
（
）与第（1）小题椭圆弧
（
）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，
，
，且
（
），试用
表示
，并求
的取值范围.
与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；（2）如图，已知“盾圆
”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；（3）由抛物线弧
（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.
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2019-12-08更新
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2183次组卷
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5卷引用：上海市实验学校2022届高三冲刺模拟卷5数学试题
上海市实验学校2022届高三冲刺模拟卷5数学试题（已下线）专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点4 椭圆与双曲线共焦点综合训练上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期10月月考数学试题上海市延安中学2017届高三上学期开学考试数学试题（已下线）圆锥曲线新定义
名校
6 . 已知椭圆
（
），点为椭圆短轴的上端点，
为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知
.
（1）若
，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求
的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，
为关于原点的对称点，也异于点，直线
、
分别与
轴交于、
两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.（1）若
，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆
是“圆椭圆”，求的取值范围；（3）若椭圆
是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
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2020-01-13更新
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691次组卷
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7卷引用：考向04 一次函数与二次函数-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）
（已下线）考向04 一次函数与二次函数-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）第13讲 椭圆 - 1上海市徐汇区2019-2020学年高三上学期第一次模拟数学试题重庆市江津中学2022-2023学年高二上学期10月阶段性考试数学试题（已下线）压轴题圆锥曲线新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二上学期第一次调研测试模拟演练数学试题上海市七宝中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
7 . 已知椭圆：，其焦距为
，若
，则称椭圆为“黄金椭圆”.黄金椭圆有如下性质：“黄金椭圆”的左、右焦点分别是
，
，以
,
，
，
为顶点的菱形
的内切圆过焦点，.
（1）类比“黄金椭圆”的定义，试写出“黄金双曲线”的定义；
（2）类比“黄金椭圆”的性质，试写出“黄金双曲线”的性质，并加以证明.
：，其焦距为，若，则称椭圆为“黄金椭圆”.黄金椭圆有如下性质：“黄金椭圆”的左、右焦点分别是，，以,，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，.（1）类比“黄金椭圆”的定义，试写出“黄金双曲线”的定义；
（2）类比“黄金椭圆”的性质，试写出“黄金双曲线”的性质，并加以证明.
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