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| 共计 3 道试题

2024·安徽芜湖·二模

解答题-证明题 | 困难(0.15) |

集合新定义

名校

1 . 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在

（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以

是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记

；又如，R在

（关于对称轴

所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以

也是R的一个对称变换，类似地，记

．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．

，

；
II．

，

；
Ⅲ．

，

；
Ⅳ．

，

．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的

为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算

来说作成一个群．

(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如

．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：

，

．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，

分别是G，H的单位元，

，

分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，

之间的关系以及

，

之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．

2024-03-20更新 | 1220次组卷 | 5卷引用：山东省菏泽市单县第一中学2024届高三下学期3月月考数学试题

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23-24高二上·山东青岛·阶段练习

解答题-问答题 | 困难(0.15) |

求异面直线所成的角

名校

2 . 学习几何体结构素描是学习素描的重要一步.如图所示，这是一个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱

和一个正三棱锥

穿插而成的对称组合体.棱

和面

与圆柱侧而相切，点

是棱

与圆柱侧而的切点.直线

分别与面

，面

交于点

，圆柱

在面

，面

上分别截得椭圆

.在平面

和平面

中，椭圆

上分别有两组不重合的两点

和

（图中未画出）.且满足关系

.已知三棱锥

的外接球表面积为

，圆柱的底面直径为

，请问平面

，平面

上是否分别存在点

，使得对于满足

的直线

分别恒过定点

.若存在，试求

和

夹角的余弦值：若不存在，请说明理由.

2024-01-24更新 | 227次组卷 | 1卷引用：山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题

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2021·山东泰安·模拟预测

解答题-问答题 | 困难(0.15) |

由导数求函数的最值（不含参）卡方的计算利用对立事件的概率公式求概率计算条件概率

名校

解题方法

计算卡方进行独立性检验利用导数求解函数的最值

3 . 十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28