2024高三·全国·专题练习
1 . 正四棱柱
中，底面
是边长为4的正方形，
与
交于点
与
交于点
，且
．
(1)用向量方法求
的长；
(2)对于
个向量
，如果存在不全为零的个实数
，
，使得
，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断
是否线性相关．
中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且．(1)用向量方法求
的长；(2)对于
个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关．
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解题方法
2 . 如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4的正方形﹒请从条件①、②、③中选择两个能解决下面问题的作为已知，并作答.
条件①：
；条件②：
；条件③：平面
平面﹒
(1)求证：
平面；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值﹒
中，四边形是边长为4的正方形﹒请从条件①、②、③中选择两个能解决下面问题的作为已知，并作答.条件①：
；条件②：；条件③：平面平面﹒(1)求证：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值﹒
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3 . 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点
，
，
，过任意两点的大圆上的劣弧
，
，
所组成的图形称为球面
，记其面积为
.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的和
；若球面上，，的对径点分别为，
，
，则球面
与球面全等.如图2，已知球
的半径为
，圆弧和
所在平面交成的锐二面角
的大小为
，圆弧
和所在平面､圆弧和
所在平面交成的锐二面角的大小分别为
，
.记
.
（1）请写出
，
，
的值，并猜测函数
的表达式；
（2）求(用，，，表示).
，，，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的和；若球面上，，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球的半径为，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面､圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记.（1）请写出
，，的值，并猜测函数的表达式；（2）求
(用，，，表示).
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解题方法
4 . 某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为
，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出
．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为
，
（1）求；
（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温
（单位：℃）与时刻
满足线性回归方程
，通过计算得到下表：
注：表中倒出体积
（单位：
）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：
令
．对于数据
，可求得回归直线为
，对于数据
，可求得回归直线为
．
（ⅰ）指出
的实际意义，并求出回归直线
的方程（参考数据：
）；
（ⅱ）若与
的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且
取3.14）保温效果最佳？
附：对于一组数据
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为，（1）求
；（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量
的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温（单位：℃）与时刻满足线性回归方程，通过计算得到下表：倒出体积 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 |
| 拟合结果 |  |  |  |  |  |
| 倒出体积 | 150 | 180 | 210 | … | 450 |
| 拟合结果 |  |  |  | … |  |
注：表中倒出体积
（单位：）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中： |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |
令
．对于数据，可求得回归直线为，对于数据，可求得回归直线为．（ⅰ）指出
的实际意义，并求出回归直线的方程（参考数据：）；（ⅱ）若
与的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且取3.14）保温效果最佳？附：对于一组数据
，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
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2020-04-23更新
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444次组卷
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5卷引用：福建省漳州市南平市2019-2020学年高三第二次教学质量检测理科数学试题
