1 . 数学归纳法的操作流程

   

应用数学归纳法证明命题时应注意：
（1）________奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.
（2）正确分析由到时式子________是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
（3）在第二步证明中一定要________，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是利用数学归纳法证明.

2 . 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数有关的数学命题时，可按如下两个步骤进行：
（1）证明当时命题成立；
（2）假设当时命题成立，证明当___时命题也成立.
根据（1）（2）就可以断定命题对应从___开始的所有正整数都成立.

3 . 2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则：

①每次只能移动一个盘子；
②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面；
③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上.
若用表示个盘子时最小的移动次数，则______，______.

4 . ○○○△△●○○○△△●…按照此规律，前24个图片中有________个白色圆圈图片．

5 . 当n取1，2，3，4，5，6时，的值分别为13，17，23，31，41，53，这些数都是质数，由此归纳得出对一切，，都是质数．为了说明这种归纳不正确，可取n的最小值为______，此时的值为______，这个值不是质数．

6 . 设，由，，，…，为质数，归纳猜想为质数．该猜想______．（选填“正确”或“错误”）

7 . 算前几项：、、、、等各项的值，可以猜想：______．

8 . 有以下命题：设，，…是公差为的等差数列中任意项，若（，，且），则；特别是，当时，称为，，…的等差平均项．
（1）已知等差数列的通项公式为，根据上述命题，则，，，的等差平均项为：______；
（2）将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设，，…，是公比为的等比数列中任意项，若（，，且），则______；特别是，当时，称为，，…，的等比平均项．

9 . 平面向量的基本定理：如果、是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，存在唯一的一对实数、，使得．类推得到空间向量的基本定理：如果、、是______，那么对空间中的任意向量，______，使得______．

10 . 对任意n∈N^*，3^4n＋2＋a^2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.