1 . 已知n为正整数，试比较与的大小 .
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
猜想：当时，

2 . （1）用文字语言和符号语言叙述异面直线判定定理：
文字语言：过______一点和______一点的直线，和此平面上______的任何一条直线是异面直线；
符号语言：若______，则直线与直线异面．
（2）用反证法证明异面直线判定定理．

3 . （1）写出点到直线（不全为零）的距离公式;
（2）当不在直线l上，证明到直线距离公式.
（3）在空间解析几何中，若平面的方程为：（不全为零），点，试写出点P到面的距离公式（不要求证明）

4 . 设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数．

5 . 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误．
(1)设为正整数，求证：．
证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有．
那么当时，就有
．因此，对于任何正整数等式都成立．
(2)设为正整数，求证：．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有，
那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立．
根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立．

6 . ，，，，五名同学猜测自己的数学成绩．
说：“如果我得优，那么也得优．”
说：“如果我得优，那么也得优．”
说：“如果我得优，那么也得优．”
说：“如果我得优，那么也得优．”
成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？

7 . 古希腊数学家毕达哥拉斯的故事：一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为)，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个，才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束处罚吗？

8 . 试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资．

9 . 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．

(1)四棱柱，平面平面ABCD，，，求的余弦值；
(2)当、时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．

10 . 回答下列问题：
(1)用综合法和分析法两种方法证明基本不等式()．
(2)对于4个正数a，b，c，d尝试证明．