名校
1 . 设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
(2)若M是一个数环，证明：
；若S是一个数域，证明：
；
(3)设
，证明A是数域.
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
(2)若M是一个数环，证明：
；若S是一个数域，证明：；(3)设
，证明A是数域.
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2 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且
，q为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若
，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且
，q为常数且，求证：．
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7日内更新
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162次组卷
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2卷引用：江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）学情调研测试数学试题
3 . 对于正整数集合
（
），如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合
和
是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合
一定不是“可分集合”；
(3)若集合
是“可分集合”，证明：
为奇数.
（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；(1)判断集合
和是否是“可分集合”（不必写过程）；(2)求证：四个元素的集合
一定不是“可分集合”；(3)若集合
是“可分集合”，证明：为奇数.
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4 . 已知集合A为非空数集.定义：
(1)若集合
，直接写出集合S，T；
(2)若集合
且
．求证：
；
(3)若集合
记
为集合A中元素的个数，求的最大值.
(1)若集合
，直接写出集合S，T；(2)若集合
且．求证：；(3)若集合
记为集合A中元素的个数，求的最大值.
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5 . 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集
划分为两个非空的子集M与N，且满足
，
，M中的每一个元素小于
中的每一个元素，则称
为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）A． ， 是一个戴德金分割 |
| B．M没有最大元素，N有一个最小元素 |
| C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 |
| D．M没有最大元素，N也没有最小元素 |
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名校
6 . 聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：
，
，若
，存在异于
的
，使得
，则称为集合
的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（ ）
，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（ ）| A．整数集没有聚点 | B．区间 的闭包是 |
C． 的聚点为0 | D．有理数集的闭包是 |
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名校
7 . 已知有
个连续正整数元素的有限集合
（
，
），记有序数对
，若对任意
，
，，
且
，A同时满足下列条件，则称
为元完备数对.
条件①：
；
条件②：
.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.条件①：
；条件②：
.(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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216次组卷
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2卷引用：北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
名校
解题方法
8 . 已知全集为R，对于给定数集A，定义函数
为集合A的特征函数，若函数
是数集A的特征函数，函数
是数集B的特征函数，则（ ）
为集合A的特征函数，若函数是数集A的特征函数，函数是数集B的特征函数，则（ ）A． 是数集 的特征函数 |
B． 是数集 的特征函数 |
C． 是数集 的特征函数 |
D． 是集合 的特征函数 |
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2024-02-23更新
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214次组卷
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2卷引用：广东省佛山市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题
9 . 已知集合
，若
中元素的个数为
，且存在
，使得
，则称是的
子集．
(1)若
，写出的所有
子集；
(2)若为的子集，且对任意的
，存在
，使得
，求的值．
，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集．(1)若
，写出的所有子集；(2)若
为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值．
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10 . 对于正整数集合
（
，
）如果去掉其中任意一个元素.
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合
是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.(1)判断集合
是否是“和谐集”，并说明理由；(2)求证：若集合
是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；(3)若集合
是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
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