1 . 某机构从300名员工中筛选出一批优秀员工充实科研力量，筛选方法：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试全部通过则被录用，若其中至少2项测试“不合格”的员工，将被淘汰，有且只有1项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项全部通过则被录用，若其中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被淘汰，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为.
(1)记某位员工被淘汰的概率为，求；
(2)每位员工不需要重新测试的费用为120元，需要重新测试的总费用为200元，除测试费用外，其他费用总计为1万元，且该300名员工全部参与测试，预算为6万元，问上述方案是否会超过预算？请说明理由.

3 . 某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌，现取出瓶该规格溶液做实验，其中瓶含有细菌，实验需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验次；
方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.
（1）假设，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；
（2）现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一，需检验的总次数为，若采用方案二，需检验的总次数为.
①若与的期望相等，试用表示；
②若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求的最大值.
参考数据：，，，.

4 . 某公司为获得一款产品的质量认证，需要去检测机构检验产品是否含有有害物质，在检验中如果样品含有物质，称结果为阳性，否则为阴性．现有（，）份样本需要检验．有以下两种检验方案，方案甲：逐份检验，则需要检验次；方案乙：混合检验，将份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，检验的次数共为1次；若检验结果为阳性，为了确定样本中的阳性样本，则对份样本再逐一检验，即检验的次数共为次．每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阳性的概率为．
（1）若（，）份样本采用方案乙，设需要检验的总次数为，求的分布列及数学期望；
（2）若两种检验方案中，每一次检验费用都是元，且份样本混合检验一次需要额外收元的材料费，单独一个样本检验不需要材料费．假设在接受检验的样本中，，要使得采用方案乙总费用的数学期望低于方案甲，求的最大值．
参考数据：，，，，．

5 . 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．

6 . 如图，一个角形海湾AOB，∠AOB＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
方案一   如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中＝l；
方案二   如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD＝l；

（1）求方案一中养殖区的面积S₁ ；
（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S₂＝ ；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

7 . 某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.
（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.
（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）

8 . 某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.
（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）
（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.

9 . 如图1，一条宽为的两平行河岸有村庄和发电站，村庄与，的直线距离都是，与河岸垂直，垂足为．现要铺设电缆，从发电站向村庄，供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别是万元/、4万元/．

（1） 如果村庄与之间原来铺设有旧电缆 （图1中线段所示），只需对其进行改造即可使用．已知旧电缆的改造费用是0.5万元/．现决定在线段上找得一点建一配电站，分别向村庄，供电，使得在完整利用，之间旧电缆进行改造的前提下，并要求新铺设的水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值，并确定点的位置；
（2）. 如图2，点E在线段上，且铺设电缆线路为．若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值．

10 . 在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B．现测得千米，（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为．为了求总运费的最小值，现提供两种方案：方案一：设千米；方案二设．

（1）试将分别表示为、的函数关系式、；
（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C点的位置．