1 . 先解答（1）（2），再通过结果类比解答（3）.
（1）求证：；
（2）写出函数的最小正周期；
（3）定义在上的函数满足（其中为非零常数），试猜想是否为周期函数，并证明你的结论.

2 . 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．

3 . 设为定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，.
(1)请指出在区间上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
(2)证明是周期函数，并求其在区间上的解析式.

4 . 已知定义在的函数，对任意，恒有成立.

（1）求证：函数是周期函数，并求出它的最小正周期T；
（2）若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，求出的解析式，写出它的对称轴的方程.

5 . 设是定义在实数集R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时，.
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算：.

6 . 设是定义在上的奇函数 且对任意实数，恒有，当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）计算
（3）当时，求的解析式

7 . 已知是定义域为R的奇函数，满足．
（1）证明：；
（2）若，求式子的值．

8 . 设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在区间上的根的个数，并证明你的结论．

9 . 给定函数、，定义.
（1）证明：；
（2）若，，证明：是周期函数；
（3）若，，，，，证明：是周期函数的充要条件是为有理数.

10 . 已知函数的定义域为，且满足．
(1)求证：是周期函数；
(2)若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数．