函数模型及其应用练习题及答案-2021年高中数学期末-较难-组卷网

20-21高一上·福建·期中

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

分段函数模型的应用基本不等式求和的最小值分段函数的值域或最值求分段函数值

名校

解题方法

分段函数求函数值

1 . 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足

，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当

时列车为满载状态，载客量为500人，当

时，载客量会减少，减少的人数与

的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为

.
(1)求

的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为

（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

2022-10-23更新 | 1015次组卷 | 16卷引用：【新东方】高中数学20210513-006【2021】【高一下】

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20-21高一下·上海静安·期末

解答题-作图题 | 较难(0.4) |

利用给定函数模型解决实际问题用导数判断或证明已知函数的单调性由导数求函数的最值（不含参）三角函数在生活中的应用

解题方法

利用导数求解函数的最值

2 . 随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.
（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；
（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.

2021-08-07更新 | 296次组卷 | 1卷引用：上海市静安区2020-2021学年高一下学期期末数学试题

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20-21高二下·北京·期末

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

利用给定函数模型解决实际问题

名校

3 . 炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前

天每天的供应量和销售量，结果如下表：

	6月1日	6月2日	6月3日	6月4日	6月5日	6月6日
供应量
销售量

记

为

月

日冰激凌的供应量，

为6月

日冰激凌的销售量，其中

、

.
用销售指数

，（

，

）来评价从

月

日开始连续

天的冰激凌的销售情况．当

时，

表示

月

日的日销售指数．
给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是________．
①在6月1日至6日这

天中，

最小，

最大；
②在6月1日至6日这

天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③

；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相符，则对任意

，都有

2021-07-15更新 | 262次组卷 | 1卷引用：北京市中关村中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题

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20-21高一上·北京西城·期末

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

利用给定函数模型解决实际问题

名校

4 . 某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：
①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;
②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：
③如果购买

罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数

.（其中

表示不大于x的最大整数）
则所有正确说法的序号是__________.

2021-01-26更新 | 769次组卷 | 6卷引用：北京市西城区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题

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20-21高一上·江苏常州·期末

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

利用函数单调性求最值或值域建立拟合函数模型解决实际问题辅助角公式

5 . 随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难"问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．

（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．(精确到0.1m)(下列数据提供参考：

)
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E､F．
①若小汽车卡在直角车道内(即点A､B分别在PE､PF上，点O在CD上)∠PAB=θ(rad)，求水平截面的长(即AB的长，用θ表示)
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．
结论1

；
结论2若函数f(x)和函数g(x)都在区间I上单调递增，则函数f(x)+g(x)在区间I上单调递增．

2021-01-24更新 | 742次组卷 | 1卷引用：江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

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10-11高三·湖南娄底·阶段练习

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

指数幂的运算利用给定函数模型解决实际问题

名校

解题方法

指数函数求参数值或范围问题

6 . 某种出口产品的关税税率为

，市场价格

(单位：千元)与市场供应量

(单位：万件)之间近似满足关系式：

，其中

均为常数.当关税税率

时，若市场价格为

千元，则市场供应量约为

万件；若市场价格为

千元，则市场供应量约为

万件.
（1）试确定

的值.
（2）市场需求量

(单位：万件)与市场价格

(单位：千元)近似满足关系式：

，当

时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过

千元时，试确定关税税率的最大值.

2020-08-12更新 | 2329次组卷 | 32卷引用：福建省福州第八中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题

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19-20高三下·江苏盐城·阶段练习

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

利用给定函数模型解决实际问题

名校

7 . 如图，河的两岸分别有生活小区

和

，其中

，

三点共线，

与

的延长线交于点

，测得

，

，若以

所在直线分别为

轴建立平面直角坐标系

则河岸

可看成是曲线

（其中

是常数）的一部分，河岸

可看成是直线

（其中

为常数）的一部分．

（1）求

的值．
（2）现准备建一座桥

，其中

分别在

上，且

，

的横坐标为

．写出桥

的长

关于

的函数关系式

，并标明定义域；当

为何值时，

取到最小值？最小值是多少？

2020-03-25更新 | 610次组卷 | 11卷引用：河南省信阳市2020-2021学年高二上学期期末数学（理科）试题

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19-20高三上·山东临沂·期中

解答题-应用题 | 较难(0.4) |

利用二次函数模型解决实际问题利用给定函数模型解决实际问题

8 . 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间

个月的二次函数