1 . 如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离．

(1)是边长为3的正三角形；
(2)是边长分别为，，的三角形．
（以上结果均保留2位小数）

2 . 如图1，为了测量运动场上探照灯杆的高度；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为米的人站在灯杆正前方某点处（用表示站立的人），此时在地面的人影为，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用表示站立的人），此时在地面的人影为（假设把探照灯看做一个点光源）.

(1)若，求灯杆的高度（单位：米）；
(2)如图2，在地面上存在点满足，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为）播放运动赛况，屏幕的高米，屏幕底部距离地面米.此人（用表示站立的人）从上某一位置出发走向上某一位置（行走路线一直落在内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角最大），求此人行走的最短路程.

3 . 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________.

4 . 漳州威镇阁建于1572年，是漳州名胜古迹之一.威镇阁采用阴阳八卦为顶面，阁上用长宽相同的长方形巨石铺成八角形状，每块巨石按方位分别刻着“乾､坤､震､艮､坎､兑､巽､离”的方正大字，所以俗称八卦楼.威镇阁八面开窗，登临阁顶，漳州方圆数十里风光尽收眼底.如图，小红计划测量威镇阁CD的高度，她在家A处测得阁尖C处的仰角为45°，再到A处正上方18米高的天台B处，测得阁尖C处仰角为30°，阁底D处俯角为30°.则威镇阁的高度约为___________米.（高度精确到1）（参考数据；）

5 . 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.

(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2)设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？

6 . 如图，在直角梯形中，满足∥，，且为正三角形，将沿翻折成三棱锥，记与平面所成的角为，与平面所成的角为，与所成的角为，则在翻折过程中，下列结论一定成立的是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物，BD为鹅卵石健康步道，，，，.

(1)求鹅卵石健康步道BD的长（单位：）；
(2)求绿化用地总面积（单位：）.

8 . 古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为_________．

9 . 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米．

（1）若，求服务通道的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号）

10 . 为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏.已知，，，.

（1）若时，求护栏的长度（的周长）；
（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？