1 . 已知数列的前项和为，，且当时，，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的值.

2 . 已知正项数列满足，数列的前项和为，且，.
(1)求，的通项公式；
(2)证明：.

3 . 已知数列的前项和为，是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．

4 . 为数列的前项和．已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和．

5 . 设数列的前n项和为，已知，.
(1)证明数列为等比数列；
(2)设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值.

6 . 某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.
(1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记分别为该市12月第天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出.

7 . 已知数列，满足，，记.

(1)试证明数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式．

8 . 已知正项数列的前项和为，且满足，首项，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．

9 . 已知数列中，，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，为数列的前项和，证明：.

10 . 记为数列的前n项和，已知，且．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．
若_________，求数列的前n项和．
①；②；③．