1 . 已知数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.

2 . 甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．
(1)试用，表示，．
(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．

3 . 森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标， A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计， A地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要杴伐掉万立方米的森林．设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量（例如）．
(1)试写出数列的一个递推公式：
(2)设，证明：数列是等比数列；
(3)若到2030年末，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量最多是多少万立方米？（精确到1万立方米）参考数据：，，

4 . 设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.

5 . 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②．
（1）若等比数列为 ()阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为：
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

6 . 设数列的前n项和为，已知，（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足：，．
① 求数列的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

7 . 对于数列，定义，．
(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；
(2) 若，，求数列的通项公式；
(3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．

8 . 已知函数，其中．定义数列如下：，,．
（1）当时，求，，的值；
（2）是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到，使得．

9 . 已知数列：、、且（），与数列：、、、且（）．
记．
（1）若，求的值；
（2）求的值，并求证当时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100.

10 . 对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “线性数列”．
（1）若，，，数列、是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列是“线性数列”，则数列也是“线性数列”；
（3）若数列满足，，为常数．求数列前项的和．