1 . 已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）求，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意三项均不成等比数列．

2 . 已知数列中，函数．
（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；
（2）若正项数列满足（n∈N^*），数列的前项和为T_n，且，求证：．

3 . 某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
(1)求和的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）

4 . 已知关于x的二次方程的两根满足，且
（1）试用表示;（2）求证：数列是等比数列;
（3）求数列的前n项和.

5 . 已知数列的前项和为，点在曲线上．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列满足，求数列的前项和．

6 . 数列的前项和为，若，点在直线上．
⑴求证：数列是等差数列；
⑵若数列满足，求数列的前项和；
⑶设，求证：．

7 . 已知数列满足，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求满足不等式的所有正整数的值.

8 . 已知数列的前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明:

9 . 在数列是各项均为正数的等比数列，设．
（1）数列是否为等比数列？证明你的结论；
（2）设数列，的前项和分别为，，若，，求数列的前项和．

10 . 设数列的前项和满足：，等比数列的前项和为，公比为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．