1 . 已知无穷数列
是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
，若对于集合
中的元素
，数列中存在不相同的项
，使得
，则称数列具有性质
，记集合
数列具有性质
.
(1)若数列的通项公式为
，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合
；
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为
.集合小的最小元素为
，当
时，证明：
.
是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合，若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质.(1)若数列
的通项公式为，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合；(2)已知数列
具有性质且集合中的最小元素为.集合小的最小元素为，当时，证明：.
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2 . 若项数为
（
）的数列：
，
，…，
满足：
.定义变换
：将数列中原有的每个0都变成0，1，原有的每个1都变成1，0，若
，1，
.
(1)求
；
(2)若
中0的个数记为
，1的个数记为
，
，求
；
(3)记中连续两项都是1的数对个数记为
，求.
（）的数列：，，…，满足：.定义变换：将数列中原有的每个0都变成0，1，原有的每个1都变成1，0，若，1，.(1)求
；(2)若
中0的个数记为，1的个数记为，，求；(3)记
中连续两项都是1的数对个数记为，求.
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3 . 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为．，
，
；
(2)写出与
的关系，并求出．
(3)求证：
．
，，；(2)写出
与的关系，并求出．(3)求证：
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4 . 在数列
中，若存在常数，使得
（
）恒成立，则称数列为“
数列”．
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“
数列”；
(2)若
，试判断数列
是否为“数列”，请说明理由；
(3)若数列为“数列”，且
，数列
为等比数列，满足
求数列的通项公式和的值．
中，若存在常数，使得（）恒成立，则称数列为“数列”．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“
数列”；(2)若
，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；(3)若数列
为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值．
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5 . 已知数列的通项公式为
．
(1)问
是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由；
(2)判断数列的增减性并证明．
的通项公式为．(1)问
是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由；(2)判断数列
的增减性并证明．
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解题方法
6 . 已知是各项都为正数的等比数列，数列
满足：
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若对任意的
都有
，求实数
的取值范围.
是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.(1)求数列
的通项公式；(2)若对任意的
都有，求实数的取值范围.
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解题方法
7 . 在党中央的“棈准扶贫”政策支持下，小王2023年底获得了扶贫免息贷款10000元，并于2024年1月初用于他的农产品加工销售创业项目，因产品质优价廉，上市后供不应求。据前两个月的经营情况测算；在一定时期内（不低于一年），每月获得的利润可稳定在该月月初投入资金的
．为了提高利润，需加大投入，于是每月月底将本利扣除房租水电等成本（由于扶贫政策，成本可稳定在1000元）后的余款继续投入到下个月再加工销售．设1月月底本利扣除成本后将要投资到下个月的资金是，以此类推，2月月底是，月月底是．
(1)求；
(2)求
与的关系（表示成
（
，
为常数）的形式）；
(3)求，并预估小王在2024年（1月初至12月底）的年利润．
（参考数据：可取
，
，
）
．为了提高利润，需加大投入，于是每月月底将本利扣除房租水电等成本（由于扶贫政策，成本可稳定在1000元）后的余款继续投入到下个月再加工销售．设1月月底本利扣除成本后将要投资到下个月的资金是，以此类推，2月月底是，月月底是．(1)求
；(2)求
与的关系（表示成（，为常数）的形式）；(3)求
，并预估小王在2024年（1月初至12月底）的年利润．（参考数据：可取
，，）
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8 . 已知数列的通项公式为
，数列的通项公式为
．
(1)求数列前6项的中位数和平均数；
(2)从数列前6项中任取2项，求取出的2项中恰有1项是数列中的项的概率．
的通项公式为，数列的通项公式为．(1)求数列
前6项的中位数和平均数；(2)从数列
前6项中任取2项，求取出的2项中恰有1项是数列中的项的概率．
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9 . 已知数列的通项公式为
．
(1)求．
(2)
是不是该数列中的项？为什么？
(3)在区间
内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由．
的通项公式为．(1)求
．(2)
是不是该数列中的项？为什么？(3)在区间
内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由．
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10 . 已知数列为有穷数列，且
，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①
；②对于
，使得
的正整数对
有k个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当
时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.
为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.(1)写出所有4的1增数列；
(2)当
时，若存在m的6增数列，求m的最小值；(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.
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2024-03-27更新
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1077次组卷
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3卷引用：河南省郑州市2024届高三第二次质量预测数学试题
