1 . 已知等差数列的前n项和为．
(1)求证：，，成等差数列；
(2)求证：，，成等差数列；
(3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．

2 . （文）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）求证：；
（2）利用（1）的结论求解：“已知、，求”；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比为，前项和为.试类比问题（1）的结论，给出一个相应的结论并给出证明.并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列，其中，，求数列的前项和.”

3 . 设等差数列的前项和为，求证：、、成等差数列.

4 . 已知一个等差数列的前4项和为32，前8项和为56．
(1)求、的值；
(2)通过计算观察，寻找、、、之间的关系，你发现什么结论？
(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．

5 . （1）在以为公差的等差数列中，设，，，求证也是等差数列，并求其公差.
（2）在等差数列中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和.
（3）在等差数列中，已知求.
（4）在等差数列中，已知，求.

6 . 等比数列的首项为，公比是，用符号表示这个数列的第项到第项（共项）之和.
（1）计算，，，并证明它们仍为等比数列；
（2）由（1）的启发，你能发现更一般的规律吗？试写出你发现的规律；
（3）在等差数列中也有类似的结论吗？试写出来.

7 . 如果存在常数，使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列 中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，求证：数列是“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.

8 . 设是由正数组成的等差数列，是其前项和.
（1）若，求的值；
（2）若互不相等正整数，，，使得，证明：不等式成立；
（3）是否存在常数和等差数列，使恒成立，若存在，试求出常数和数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

9 . （理）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）试用表示，其中、均为正整数；
（2）利用（1）的结论求解：“已知，求”；
（3）若数列前项的和分别为，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前项和，前项和，求数列的前2010项的和.”