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解题方法
1 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
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2 . 如图,矩形中,,.、、、分别是矩形四条边的中点,设,.(1)证明:直线与的交点在椭圆:上;
(2)已知为过椭圆的右焦点的弦,直线与椭圆的另一交点为,若,试判断、、是否成等比数列,请说明理由.
(2)已知为过椭圆的右焦点的弦,直线与椭圆的另一交点为,若,试判断、、是否成等比数列,请说明理由.
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2024高三·全国·专题练习
3 . 已知O为坐标原点,P,Q是双曲线上的两个动点.
(1)若点P,Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2,点T在双曲线E的左支上且,,求双曲线E的渐近线方程;
(2)若,,成等比数列,,证明直线PQ与定圆相切.
(1)若点P,Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2,点T在双曲线E的左支上且,,求双曲线E的渐近线方程;
(2)若,,成等比数列,,证明直线PQ与定圆相切.
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4 . 已知双曲线,动直线与轴交于点,且与交于两点,是的等比中项,.
(1)若两点位于轴的同侧,求取最小值时的周长;
(2)若,且两点位于轴的异侧,证明:为等腰三角形.
(1)若两点位于轴的同侧,求取最小值时的周长;
(2)若,且两点位于轴的异侧,证明:为等腰三角形.
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解题方法
5 . 桌面上放有一个四个面分别标有字母A,B,C,D的正四面体.若将该正四面体轻轻推倒,其与桌面接触的面会随之更换,且其他各面与桌面接触的可能性均相等.现将该正四面体标有字母的面与桌面接触,每次将其轻轻推倒后,标有字母B,C,D的面等可能地与桌面接触.将该正四面体推倒次后,记事件“标有字母B,C,D的三个面均与桌面有过接触”发生的概率为.
(1)当时,记标有字母B,C,D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量;当时,记标有字母B,C,D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量,求随机变量X,Y的数学期望;
(2)记,若存在实数,使得数列为等比数列,求实数的值,并求.
(1)当时,记标有字母B,C,D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量;当时,记标有字母B,C,D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量,求随机变量X,Y的数学期望;
(2)记,若存在实数,使得数列为等比数列,求实数的值,并求.
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解题方法
6 . 已知三条直线()分别与抛物线交于点、,为轴上一定点,且,记点到直线的距离为,△的面积为.
(1)若直线的倾斜角为,且过抛物线的焦点,求直线的方程;
(2)若,且,证明:直线过定点;
(3)当时,是否存在点,使得,,成等比数列,,,也成等比数列?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)若直线的倾斜角为,且过抛物线的焦点,求直线的方程;
(2)若,且,证明:直线过定点;
(3)当时,是否存在点,使得,,成等比数列,,,也成等比数列?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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解题方法
7 . 已知函数,对于数列,若,则称为函数的“生成数列”,为函数的一个“源数列”.
(1)已知 为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”,求;
(2)已知为函数的“源数列”,求证:对任意正整数,均有;
(3)已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”, 与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
(1)已知 为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”,求;
(2)已知为函数的“源数列”,求证:对任意正整数,均有;
(3)已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”, 与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
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23-24高二上·上海·课后作业
解题方法
8 . 判断下面命题甲是命题乙的什么条件:
(1)命题甲:,,是等比数列;命题乙:.
(2)命题甲:为等比数列;命题乙:对于任意正整数均有.
(1)命题甲:,,是等比数列;命题乙:.
(2)命题甲:为等比数列;命题乙:对于任意正整数均有.
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23-24高二上·全国·课后作业
解题方法
9 . 已知数列为等比数列,k是小于n的正整数,是和的等比中项吗?
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名校
10 . 公元263年,刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法,算得值为3.14,我国称这种方法为割圆术,直到1200年后,西方人才找到了类似的方法,后人为纪念刘徽的贡献,将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形,记外切正边形周长的一半为,内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:(其中是正边形的一条边所对圆心角的一半)
(1)求的通项公式;
(2)求证:对于任意正整数依次成等差数列;
(3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由.
(1)求的通项公式;
(2)求证:对于任意正整数依次成等差数列;
(3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由.
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2023-07-21更新
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282次组卷
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3卷引用:上海师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题