1 . 已知数列的前项和为，满足，且，数列满足，其前项和为.
（1）设，求证：数列为等比数列；
（2）求和.
（3）不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知数列和满足，且对任意的，，.
（1）求，及数列的通项公式；
（2）记，， 求证：，.

3 . 已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.

4 . 在庆祝新中国成立七十周年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁”彩车亮相国庆游行，“女排精神”燃爆中国.某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个“投骰子50米折返跑”的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50米的折返跑，从第二次开始，参与者都需要抛掷两枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所得的点数之和能被3整除，则参与者只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3整除，则参与者需要连续进行两次折返跑.记参与者需要做n个折返跑的概率为.
（1）求，，；
（2）证明是一个等比数列；
（3）求，若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由.

5 . 设数列的前项和为，已知，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且，证明；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．

6 . 已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列.

7 . 已知数列的前项和为，且对任意都成立.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.

8 . 已知数列满足，，为数列的前项和，则满足不等式的的最大值为______.

9 . 数列的前n项和满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列为等差数列，且，求数列的前n项.

10 . 数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列.
（2）若，，且，求的值.