基本不等式（均值定理）练习题及答案-高中数学高三-组卷网

2024·安徽·模拟预测

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

导数的运算法则裂项相消法求和由基本不等式证明不等关系数列新定义

名校

解题方法

裂项相消法探究性试题

1 . 在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”

；还有“欧拉质数多项式”：

.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数

的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据

.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
(1)数列

中

经DZB数据加密协议加密后依次变为

.求经解密还原的数据

的数值；
(2)依据

的数值写出数列

的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列

前

项的和

；
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数

是方程

的两个根

是

的导数.设

.证明：对任意的正整数

，都有

.（本小题数列

不同于第（1）（2）小题）

2024-05-28更新 | 475次组卷 | 2卷引用：安徽省皖北五校联盟2024届高三第二次联考数学试卷

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22-23高三下·湖南长沙·阶段练习

多选题 | 适中(0.65) |

由基本不等式证明不等关系

名校

2 . 设

为两个正数，定义

的算术平均数为

，几何平均数为

，则有：

，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即

，其中

为有理数.下列关系正确的是（）

A．	B．
C．	D．

2023-04-11更新 | 1467次组卷 | 4卷引用：湖南省长沙市A佳教育联盟2023届高三下学期4月联考数学试题

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2020高三·全国·专题练习

单选题 | 较易(0.85) |

基本不等式的内容及辨析

名校

3 . 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）

A．a²+b²≥2ab（a＞0，b＞0）	B．
C．（a＞0，b＞0）	D．（a＞0，b＞0）

2022-11-26更新 | 1413次组卷 | 28卷引用：专题7.3 基本不等式-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

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2017·河北衡水·一模

单选题 | 适中(0.65) |

基本不等式的内容及辨析

名校

解题方法

数形结合思想

4 . 《几何原本》卷

的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点

在半圆

上，点

在直径

上，且

，设

，

，则该图形可以完成的无字证明为（）

A．	B．
C．	D．

2022-10-28更新 | 754次组卷 | 63卷引用：河北省衡水中学2017届高三高考押题理数试题

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20-21高三下·湖南·阶段练习

单选题 | 较易(0.85) |

由基本不等式证明不等关系不等式

名校

解题方法

探究性试题

5 . 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形

中，点

为斜边

的中点，点

为斜边

上异于顶点的一个动点，设

，

，则该图形可以完成的无字证明为（）

A．	B．
C．	D．

2022-10-12更新 | 934次组卷 | 17卷引用：湖南省六校2021届高三下学期4月联考数学试题

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2022·山东菏泽·二模

多选题 | 较易(0.85) |

由基本不等式比较大小

名校

6 . 设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为

，几何平均数为

．上个世纪五十年代，美国数学家D.H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即

，其中p为有理数．下列结论正确的是（）

A．	B．
C．	D．

2022-05-11更新 | 5412次组卷 | 22卷引用：山东省菏泽市2022届高三二模考试数学试题

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19-20高二上·山东济南·期末

多选题 | 适中(0.65) |

由已知条件判断所给不等式是否正确由基本不等式证明不等关系

7 . 汉代数学名著《九章算术》第九卷《勾股》章中提到了著名的“勾股容方”问题.如图，正方形

内接于直角三角形

，其中

，则下列关系式成立的是（　　）

A．	B．
C．	D．

2021-01-17更新 | 581次组卷 | 4卷引用：福建省泉州市安溪一中、泉州实验中学、养正中学2022届高三下学期期初联考数学试题

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