1 . 祖暅是我国南北朝时期的数学家，著作《缀术》上论及多面体的体积：缘幂势既同，则积不容异——这就是祖暅原理.用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在棱长为2的正方体
中，
是
上一点，
于点
，
，点绕
旋转一周所得圆的面积为_________ （用
表示）；将空间四边形
绕旋转一周所得几何体的体积为_________ .
中，是上一点，于点，，点绕旋转一周所得圆的面积为表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为
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2024-03-08更新
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366次组卷
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4卷引用：上海市宜川中学2024届高三下学期2月开学考试数学试题
2 . 在
平面上，将一段圆弧
：
（
）和一段椭圆弧
：
（）围成的封闭图形记为
，如图中阴影部分所示，
记绕
轴旋转一周而成的封闭几何体为
，过
（
）作的水平截面，利用祖暅原理和一个球，得出旋转体的体积值为______ .
平面上，将一段圆弧：（）和一段椭圆弧：（）围成的封闭图形记为，如图中阴影部分所示，记
绕轴旋转一周而成的封闭几何体为，过（）作的水平截面，利用祖暅原理和一个球，得出旋转体的体积值为
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解题方法
3 . 如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______ .
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名校
解题方法
4 . 如图，棱长为2的正方体中，点P在线段
上运动，以下四个命题：①三棱锥
的体积为定值；②
；③若
平面ABCD，则三棱锥
的外接球半径为
；④
的最小值为
．其中真命题有______ （写出所有真命题的序号）
中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有
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名校
5 . 半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为______ ．
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2024-01-16更新
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403次组卷
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2卷引用：上海市复旦中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
6 . 上海中心大厦是上海市的地标建筑，现为中国第一高楼.为有效减少建筑所受的风荷载，通常对建筑体型进行一定的扭转.上海中心大厦的主楼可近似看成将正三棱柱的一个底面扭转所得的几何体；将正三棱柱
的底面
在其所在平面内绕的中心逆时针旋转
得到
，再分别连接
、
、
、
、
、
所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为
米，底层面积（即
的面积）约为
平方米.
(1)求证：
；
(2)试分别以正三棱柱和几何体
为模型估算大厦主楼的体积.
的底面在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，再分别连接、、、、、所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为米，底层面积（即的面积）约为平方米. (1)求证：
；(2)试分别以正三棱柱
和几何体为模型估算大厦主楼的体积.
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7 . 已知圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于_______ .
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8 . 对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个交点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系
中，球
的半径为
，记平面、平面
、平面
分别为
、
、
.
(1)若棱长为
的正方体、棱长为
的正四面体的内切球均为球，求
的值；
(2)若球在
处有一切平面为
，求与的交线方程，并写出它的一个法向量；
(3)如果在球面上任意一点作切平面
，记与、、的交线分别为
、
、
，求到、、距离乘积的最小值.
中，球的半径为，记平面、平面、平面分别为、、.(1)若棱长为
的正方体、棱长为的正四面体的内切球均为球，求的值；(2)若球
在处有一切平面为，求与的交线方程，并写出它的一个法向量；(3)如果在球面上任意一点作切平面
，记与、、的交线分别为、、，求到、、距离乘积的最小值.
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解题方法
9 . 棱台中，
是两个菱形，
，
，
，高为5，有一个球O，使得此棱台能在此球内任意转动，求此球O半径的最小值____________ （保留3位有效数字）
中，是两个菱形，，，，高为5，有一个球O，使得此棱台能在此球内任意转动，求此球O半径的最小值
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10 . 如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形
，将剩余部分绕着直径
所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为______ .
，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为
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