1 . 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

2 . 如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面.

   

3 . 如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，，

(1)若，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

4 . 如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点．
   
(1)证明：平面平面；
(2)利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面．

6 . 在矩形中，，点P是线段的中点，将沿折起到位置（如图），使得平面平面，点Q是线段的中点.
   
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.

7 . 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.

   

(1)在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；
(2)请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值
；.

8 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，.

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

9 . 如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.
   
(1)若为的中点，求证：平面.
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.

10 . 在长方体中，，.点是线段上的动点，点为的中点.
   
(1)当点是中点时，求证：直线平面；
(2)若二面角的余弦值为，求线段的长.