1 . 如图，在四棱台中，为的中点，.

(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值.

2 . 如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.

3 . 在如图所示的直三棱柱中，，，D是上的点，E是的中点．

(1)若，证明：平面．
(2)若为正三角形，D是的中点，求二面角的余弦值．

4 . 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为菱形，平面PAB底面ABCD，M为棱BC上异于点C的一点，O为棱AB的中点，且，．

(1)若，求证：M为BC的中点；
(2)若平面POM与平面PAC所成的锐二面角的余弦值为，求的值．

5 . 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于、的点．

   

(1)点为线段的中点，证明：直线平面；
(2)若四棱锥的体积为3，求直线与平面夹角的正弦值．

6 . 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，底面ABC为等边三角形.

   

(1)证明：为等腰三角形；
(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.

7 . 如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

8 . 已知在正三棱柱中，，.

(1)已知，分别为棱，的中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

9 . 如图，多面体是由正四棱锥与三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，，为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．

10 . 如图1，在平面四边形中，是边长为4的等边三角形，，，为SD的中点，将沿AB折起，使二面角的大小为，得到如图2所示的四棱锥，点满足，且．

(1)证明：当时，平面；
(2)求点D到平面的距离；
(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值．