1 . 如图，在三棱锥中，，，点O、D分别是AC、PC的中点，底面．
   
(1)求证：平面PAB；
(2)当时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为的重心？

2 . 如图，且且且平面

(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

4 . 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为棱的中点．

(1)若与平面所成的角为，求证：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．

5 . 如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且为的中点.
       
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.

6 . 在正方体中（如图所示），边长为2，连接

   

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由．

7 . 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.

   

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.

8 . 如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点.

   

(1)证明：；
(2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为.

9 . 如图，已知正方体，为的中点.

(1)过作出正方体的截面，使得截面平行于平面，并说明理由；
(2)为线段上一点，且直线与截面所成角的正弦值为，求.

10 . 如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．