1 . 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.

(1)证明：无论取何值，总有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且.

(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.

3 . 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小；
(3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值．

4 . 在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（       ）

A．直线MP与直线所成角的最大值为90°

B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分

C．不存在点P，使得∥平面

D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为

5 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点E在棱上，且平面，求线段的长．

6 . 如图，在棱长为3的正方体中，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值.

7 . 如图，平面，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

8 . 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．

（1）当为线段的中点时，

①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.