1 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线,都有令人惊奇的光学性质,且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点(如图所示,其中是反射镜面也是过点处的切线).已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处(点P在第一象限),经双曲线反射后过点.
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
(1)请根据双曲线的光学性质,解决下列问题:
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
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解题方法
2 . 如图,点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点,点P是上在第一象限内的动点,直线AP与直线BC相交于点Q,直线CP与x轴相交于点M.
(1)求直线BC的方程;
(2)求证:;
(3)已知直线的方程为,线段QM的中点为T,是否存在垂直于y轴的直线,使得点T到和的距离之积为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
(1)求直线BC的方程;
(2)求证:;
(3)已知直线的方程为,线段QM的中点为T,是否存在垂直于y轴的直线,使得点T到和的距离之积为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
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3 . 椭圆的左、右焦点分别是、,离心率为,过且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与坐标轴不垂直且不过原点的直线与椭圆相交于不同的两点A,B,过AB的中点M作垂直于的直线,设与椭圆相交于不同的两点C,D,且.设原点O到直线的距离为d,求的最大值.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与坐标轴不垂直且不过原点的直线与椭圆相交于不同的两点A,B,过AB的中点M作垂直于的直线,设与椭圆相交于不同的两点C,D,且.设原点O到直线的距离为d,求的最大值.
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解题方法
4 . 直角坐标系中,已知椭圆的左,右焦点分别为,,为的中点,过作直线交椭圆于,两点,过作另一直线交椭圆于,两点.
(1)判断以为直径的圆是否经过,若经过,请求出此时的斜率,若不经过请说明理由;
(2)若,,三点共线,设直线与直线的斜率存在且分别为,,试问是否为常数,若是,求出常数的值;若不是,请说明理由.
(1)判断以为直径的圆是否经过,若经过,请求出此时的斜率,若不经过请说明理由;
(2)若,,三点共线,设直线与直线的斜率存在且分别为,,试问是否为常数,若是,求出常数的值;若不是,请说明理由.
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