1 . 如图，点A为椭圆的上顶点，圆，过坐标原点的直线交椭圆于，两点.
   
(1)求直线的斜率之积；
(2)设直线与圆交于两点，记直线的斜率分别为，探究是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线上．

3 . 已知圆C的圆心在y轴上，且过点，．
(1)求圆C的方程；
(2)已知圆C上存在点M，使得三角形MAB的面积为，求点M的坐标．

4 . 在平面直角坐标系中，已知点，，圆经过点，及.斜率为的直线经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）当时，过直线上的一点向圆引一条切线，切点为，且满足，求点的坐标.

5 . 已知圆过点，圆M关于直线对称的圆为圆C，设P点为T点关于的对称点．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB分别与x轴的交点分别为E，F，若是以P为顶点的等腰三角形，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行，并说明理由．

6 . 已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中0为原点．
（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程.

7 . 如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为
(1)若点坐标为，求直线的方程；
(2)求证：直线过定点.

8 . 如图，曲线由左半椭圆和圆在轴右侧的部分连接而成，，是与的公共点，点，（均异于点，）分别是，上的动点．
（Ⅰ）若的最大值为，求半椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且，，求半椭圆的离心率．

9 . 已知圆，直线与圆交于不同的两点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求直线的方程．

10 . 已知倾斜角为的直线过点和点，其中在第一象限，且.
(1)求点的坐标；
(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，求实数的值.