1 . 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴 一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（Ⅱ）过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点.为坐标原点，若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.

2 . 已知动点P到定点和到直线的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）经过点的直线交（Ⅰ）中轨迹于A、B两点，点D在抛物线的准线上，且BD//x轴.证明直线AD经过原点O.

3 . 已知抛物线的焦点为 ，过点作直线交抛物线于两点．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．

（1）分别求抛物线和椭圆的方程；
（2）经过两点分别作抛物线的切线，切线与相交于点．证明：；
（3）椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由．

4 . 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1．直线与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）当直线，的倾斜角之和为时，证明直线过定点.

5 . 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

6 . 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为-4．

（1）求抛物线的方程；
（2）已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线与
轴交于一定点．

7 . 如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为

（1）求曲线的方程；
（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点．
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．

8 . 过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点，设切线、的斜率分别为和.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：直线恒过顶点，并求出此定点坐标；

9 . 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，求证: .

10 . 抛物线D以双曲线的焦点为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|