1 . 已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.

2 . 已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.

3 . 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过坐标原点的直线交椭圆于两点，在第一象限，轴，垂足为，连接延长交椭圆于点.
①求证：；
②求面积最大值.

4 . 已知点F是拋物线C:y²=2px(p>0)的焦点,点M(x₀,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

5 . 已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.

6 . 已知抛物线：的焦点为，准线为，三个点，，中恰有两个点在上．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过的直线交于，两点，点为上任意一点，证明：直线，，的斜率成等差数列．

7 . 以边长为的正三角形的顶点为坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：为定值；
(3)求线段的中点的轨迹方程.