1 . 如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.
   
(1)求曲线的方程；
(2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.

2 . 设是二次曲线C上的点，且构成了一个公差为的等差数列，其中O是坐标原点．记．
(1)若C的方程为．点及，求点的坐标；（只需写出一个）
(2)若C的方程为．点，对于给定的自然数n，证明：成等差数列；
(3)若C的方程为，点，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求的最小值．

3 . 已知点F为抛物线C：y²=2px(p>0)的焦点，横坐标为1的点M在抛物线上，且以F为圆心，|MF|为半径的圆与C的准线相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设不经过原点O的直线l与抛物线交于A、B两点，设直线OA、OB的倾斜角分别为和，证明：当时，直线l恒过定点．

4 . 已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.

（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.

5 . 已知点，直线，P为曲线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线m过点F且与曲线C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作直线的垂线，对应的垂足分别为，，记表示的面积，表示的面积，表示的面积，证明：为定值．

6 . 已知在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离短.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）经过点作任一直线与轨迹相交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为点，求证：直线过轴上的定点，并求出定点坐标．

7 . 已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.
（1）若点在点的右侧,当点的横坐标为3，且为等边三角形，求的方程.
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且.
①求证：点的坐标为.
②求点到直线的距离的取值范围.

8 . 若抛物线：()上的点与点(4，1)关于直线对称，是抛物线的焦点.
（1）求的值；
（2）若点是抛物线上使得取得最小值的点，，是抛物线上不同于点的两点，且有，求证：直线恒过定点.

9 . 已知抛物线：的焦点为，若点在上，且.
（1）求抛物线的方程和的值；
（2）设直线过且与圆：交于异于原点的、两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点.
（ⅰ）设直线与的斜率分别为，，求证：；
（ⅱ）设，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.

10 . 动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；
（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．