1 . 如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向做匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度做匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且 ，探究：直线是否过定点，并说明理由.

3 . 已知直线，点，点是平面直角坐标系内的动点，且点到直线的距离是点到点的距离的2倍.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，若（是坐标系原点）的面积为，求直线的方程；
（3）若（2）中过点的直线是倾斜角不为0的任意直线，仍记与曲线的交点为、，设点为线段的中点，直线与直线交于点，求的大小.

4 . 已知点是曲线：上的动点，延长（是坐标原点）到，使得，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点，分别是曲线的左、右焦点，求的取值范围；
（3）过点且不垂直轴的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．