1 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

2 . 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆的上顶点，点，在椭圆上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．

3 . 已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于M，N两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)点P，Q在椭圆上，且，，D为垂足.证明：存在定点，使得为定值.

4 . 已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆，为其左焦点，在椭圆 上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，且，问△OAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆C：，为C的右焦点，且长轴长为短轴长的2倍．
(1)求C的方程；
(2)若不过原点的直线l与C交于A，B两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由．

7 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，为C上一点，过点且与y轴不垂直的直线l与C交于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)在平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．

9 . 已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.
(1)求C的标准方程.
(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为C上任意一点．当P位于短轴端点时，为等边三角形且面积为．
(1)求C的标准方程；
(2)当P在x轴上方且轴时，过P作倾斜角互补的两条直线分别交C于不同的两点M，N，求直线的斜率．