1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．

（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．

2 . 如图，已知过点的椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q．
①求直线PA与PB的斜率之积；
②判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，设椭圆的左焦点为，左准线为为椭圆上任意一点，直线，垂足为，直线与交于点．

（1）若，且，直线的方程为．①求椭圆的方程；②是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）设直线与圆交于两点，求证：直线均与圆相切．

4 . 已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆P的方程；
（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；
（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．

5 . 已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为，
(1)若直线上不存在点，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
(2)在（1）的条件下，当取最大值时，点坐标为，设是椭圆上的三点，且，求：以线段的中心为圆心，过两点的圆方程.

6 . 椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭圆“相似”.

(1)求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程；
(2)若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭圆于两点，且.
①若的坐标为，且，求直线的方程；
②若直线，的斜率之积为，求实数的值.

7 . 如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设.

（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.

8 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

9 . 已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求面积的最大值；
（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.

10 . 已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．