1 . 如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.

2 . 已知椭圆的焦点坐标，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，若是一个与无关的常数，求此时的常数及四边形面积的最大值.

3 . 已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
(3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点（异于），点（常数）是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值．

4 . 已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.

5 . 已知G是圆T：上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C
(1)求曲线C的方程；
(2)设P是曲线C上任一点，延长OP至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线交曲线E于A，B两点，求面积的最大值.
(3)M，N是曲线C上两个动点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为，且，则的面积为定值，求出此定值（直接写出结论，不要求写证明过程）

6 . 如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．

(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
(2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．

7 . 在椭圆：上任取点，过C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，点D满足，记动点D形成的轨迹为E.
(1)求E的方程：
(2)设为坐标原点，直线交轨迹E于P、Q两点，满足的面积恒为.求的最大值，并求取得最大值时直线的方程.

8 . 已知、、是直线上的三点，且，，切直线于点，又过、作异于的两切线，设这两切线交于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设、是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若，的斜率分别为，，问：是否存在实数，使得当时，的面积是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

9 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且点和点在椭圆上，椭圆的左顶点与抛物线的焦点的距离为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点.
（ⅰ）若，抛物线在点处的切线交于点，求证：；
（ⅱ）若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知平面直角坐标系内一椭圆，记两焦点分别为，，且.

(1)求的方程；
(2)设上有三点、、S，直线、分别过，，连接.
①若，求的面积；
②证明：当面积最大时，必定经过的某个顶点.