1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，若M为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过作直线与椭圆C交于两点，且椭圆C上存在点，满足，求直线的方程．

2 . 根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的两倍，且过点；
（2）x轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是．

3 . 设椭圆中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线（）与相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，求四边形面积的最大值．

4 . 已知点在圆上，，的坐标分别为，，线段的垂直平分线交线段于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设圆与点的轨迹交于不同的四个点，，，，求四边形的面积的最大值．

5 . （1）已知，求；
（2）求证：椭圆的面积为.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为M，，且原点O到直线的距离为.
（1）求椭圆C的方程：
（2）已知斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围.

7 . 已知椭圆经过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆只有一个公共点，且椭圆的左、右焦点，在直线上的射影分别为，，求取得最小值时直线的方程．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为右顶点为过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，所得四边形为菱形，且其面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点的直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的最大值.

9 . 已知椭圆C：（a>b>0）的左，右焦点分别为，，，经过点的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，的周长为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q点的M，N两点。若M，N关于坐标原点对称，求的值.

10 . 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.