1 . 已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：
（i）的面积等于的面积；
（ii）为定值．

3 . 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
(1)求直线PA与PB的斜率之积；
(2)任意过且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．

4 . 已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程和短轴长；
(2)已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，，设直线与椭圆的另一个交点为，连接，求证：平分.

5 . 阿基米德（公元前287年公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，直线与直线交于点，试证明，，三点共线；
（3）求面积的最大值.

6 . 已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.
（1）求椭圆长半轴长；
（2）求最大值；
（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.

7 . 如图，已知椭圆，直线，直线与椭圆交于不同的两点，点和点关于轴对称，直线与轴交于点．

（1）若点是椭圆的一个焦点，求该椭圆的长轴的长度；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求证：为定值．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的周长为，且点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点.

9 . 已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如下图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立. 则短轴长为，长轴为的椭球体的体积为__________．