2 . 欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值.

3 . 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.

(1)求航天器变轨时点的坐标；
(2)求航天器降落点与观测点A之间的距离.

4 . 阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题：

(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值；
(2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由；
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点.

5 . 我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点分别为近地点和远地点，如图所示．卫星在近地点与地球表面的距离为439千米，在远地点与地球表面的距离为2384千米，地球中心与在同一直线上．已知地球的半径为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨道的方程．

6 . 已知椭圆C：=1(a>b>0)经过点P(2，1)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作直线l∥y轴，第四象限内一点A在椭圆C上(点A不在直线l上)，点A和点B关于直线l对称，直线BP与椭圆的另一个交点为Q，试判断直线AQ和直线OP(O为原点)的位置的关系，并说明理由.

7 . 定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．
（1）写出“倒椭圆”的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．
（2）过“倒椭圆”上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆只有一个公共点．
（3）是否存在直线l与椭圆无公共点，且与“倒椭圆”无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．

8 . 某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米．要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）．

（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米³）

9 . 已知椭圆焦点为且过点，椭圆上一点到两焦点,的距离之差为2，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积.

10 . 阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）；光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）．试结合，上述事实现象完成下列问题：

（Ⅰ）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出．经过球桌边缘的反射（假设球的反射充全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；
（Ⅱ）结论：椭圆上任点P（x₀，y₀）处的切线的方程为．记椭圆C的方程为C：，在直线x＝4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B．求证：直线l_AB恒过定点：
（Ⅲ）过点T（1，0）的直线l（直线l斜率不为0）与椭圆C：交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由．