1 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过定点的动直线与椭圆交于点，，过作轴垂线交圆于，过作轴垂线交圆于，且满足点与在轴同侧，点与在轴同侧．试问；直线是否恒过定点？请说明理由．

3 . 已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆C的左、右焦点分别为，且到直线的距离为，若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上，过点作l的垂线，垂足为Q，
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的最大值．

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）点在圆上，且在第一象限，过点作圆的切线交椭圆于、两点，不经过，证明：的周长为定值.

5 . 已知椭圆的焦距为 ,短轴长为.
(1)求的方程;
(2)直线与相切于点M,与两坐标轴的交点为A与B,直线经过点M且与垂直,与的另一个交点为N.当取得最小值时,求的面积.

6 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.