1 . 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，上顶点为，设是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．

(1)求椭圆的方程.
(2)求点到椭圆上点的距离的最大值；
(3)求的最小值．

2 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

3 . 已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.
(1)求的方程；
(2)若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；
(3)设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.

5 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于两点，求弦的长；
(3)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作两条直线，使得与椭圆都只有一个公共点，且分别与椭圆的“伴随圆”交于两点.证明：直线过原点.

6 . 已知椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.

7 . 已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点，直线与交于点.
①求直线的方程；
②记的面积分别为，求的最大值.

9 . 把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，、分别是“曲圆”与轴的左、右交点，、分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于、两点.

(1)求“曲圆”中的半椭圆的方程；
(2)求的周长的取值范围；
(3)是否可能是直角三角形，请说明理由.

10 . 已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.